একজন সাতারু স্থির পানিতে ঘন্টায় 4 কি.মি. বেগে সাঁতরাতে পারে। যদি নদীর স্রোতের বেগ ঘন্টায় 3 কি.মি. হয় এবং সাতারুটি স্রোতের সাথে লম্ব ভাবে সাঁতার কাটা শুরু করে, তবে নদীর অপর পাড়ে পৌঁছাতে সে শুরুর বিন্দু থেকে কত দুরত্বে সরে যাবে? নদীর প্রন্থ যদি 500 মিটার হয়, তবে পাড়ি দিতে কত সময় লাগবে?

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right]$

$\Rightarrow \left|A\right|=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right|=4-5=-1$

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{1}\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right]$

$C=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ 5& -2\end{array}\right]$

$\Rightarrow \left|C\right|=\left|\begin{array}{cc}-2& 1\\ 5& -2\end{array}\right|=4-5=-1$

$\therefore C^{-1}=\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{cc}-2& -1\\ -5& -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 2\end{array}\right]$

এখন, $ABC=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 3& -1\end{array}\right]$

$\Rightarrow B=A^{-1}\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 3& -1\end{array}\right]C^{-1}$

$\Rightarrow B=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 3& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 2\end{array}\right]$

$\Rightarrow B=\left[\begin{array}{cc}-4-3& 8+1\\ 6+6& -12-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 2\end{array}\right]$

$\Rightarrow B=\left[\begin{array}{cc}-7& 9\\ 12& -14\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 2\end{array}\right]$

$\Rightarrow B=\left[\begin{array}{cc}-4+45& -7+18\\ 24-70& 12-38\end{array}\right]$

$\therefore B=\left[\begin{array}{cc}31& 11\\ -46& -16\end{array}\right]$

$\therefore \left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 0& -4\\ 1& \lambda & 3\end{array}\right|=0$

$\Rightarrow 4\lambda -10+2\lambda =0 \therefore \lambda =\frac{5}{3}$

লম্ব একক ভেক্টর = $=\pm \frac{\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|}$

$\therefore \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 1& 1& 1\\ 2& 0& -4\end{array}\right|=\hat{i}\left(-4-0\right)-\hat{j}\left(-4-2\right)+\hat{k}\left(0-2\right)$

                                            $=-4\hat{i}+6\hat{j}-2\hat{k}$

∴ লম্ব একক ভেক্টর $=\pm \frac{\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|}=\pm \frac{-4\hat{i}+6\hat{j}-2\hat{k}}{\sqrt{{\left(-4\right)}^2+6^2+{\left(-2\right)}^2}}$

$=\pm \frac{-4\hat{i}+6\hat{j}-2\hat{k}}{\sqrt{56}}=\pm \frac{-4\hat{i}+6\hat{j}-2\hat{k}}{2\sqrt{14}}=\pm \frac{2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{14}}$

HIPPOPOTAMUS বা HIPPPTMS(IOOAU) ভিন্ন স্বরবর্ণ সংখ্যা = 4টি এবং ভিন্ন ব্যঞ্জনবর্ণ সংখ্যা 5টি। 3টি বর্ণ দ্বারা গঠিত শব্দে 4টি স্বরবর্ণ হতে 1 টিকে মাঝের স্থানে = ⁴P₁ প্রকারে সাজানো যাবে। 

আবার, 5টি ব্যাঞ্জনবর্ণ হতে যেকোনো 2টি বর্ণকে দুই প্রান্তে 2টি P কে রেখে গঠিত

নির্ণেয় সংখ্যা $=\frac{{}^{2}P_1}{2!}\times {}^{4}P_1=20\times 4=4$ টি

∴ মোট শব্দ সংখ্যা = (80 + 4) = 84 টি। 

y = ae^x + be^-x ⇒ $\frac{dy}{dx}=$ ae^x - be^-x ⇒ $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=$ ae^x + be^-x

গুরুমান ও লঘুমানের জন্য, $\frac{dy}{dx}=0$

$\Rightarrow a{e}^x-\frac{b}{e^x}=0\Rightarrow \frac{a{\left(e^x\right)}^2-b}{e^x}=0\Rightarrow {\left(e^x\right)}^2=\frac{b}{a} \therefore e^x=\pm \sqrt{\frac{b}{a}}$

y² = 4ax এবং y =2x হতে পাই,

4x² = 4ax ⇒ x² - ax = 0 ⇒ x(x - a) = 0

∴ x = 0 এবং x = a যা সীমা নির্দেশ করে।